函数

函数：y=f(x)

x：自变量

f：对应法则

定义域：自变量x的范围

题型一：求定义域

  • 类型一：求抽象函数
  • 类型二：求具体函数

抽象函数定义域

抽象函数定义域：

  • 谁的定义域就是谁的x的范围
  • 同一符号下，括号内的范围一样

具体函数的定义域

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第一步：找类型，并且找全

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第二步：解不等式

第三步：取交集

第四步：写成集合或区间的形式

函数的表达式

第一类

image-20240806202827263 image-20240806203305020

第二类

换元法

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同一函数

判断是否为同一函数

  1. 定义域一样
  2. 表达式一样（值域）

基本初等函数

幂函数

image-20240806214103172 image-20240806214614327

补充：

定义域、值域

运算性质

image-20240806214848037

指数函数

image-20240806215719030

对数函数

image-20240806222256125 image-20240806222745387

三角函数

image-20240807213922373

sin

sin是对边比斜边

image-20240807214554660

sin图像

image-20240807215014200

cosx

cos是邻边比斜边

特殊值及图像

image-20240807215332157

tanx

tanx是对边比邻边

特殊值及基本情况

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tanx图像

image-20240807215829893

三角函数公式

image-20240807220724828

image-20240807220702872

和差化积

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tan公式

image-20240807220912659 image-20240807220953685

反三角函数

arctanx图像

image-20240807221236827

特殊值

arcsin、arccos、arctan与sin、cos、tan相同

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因式分解

提公因式

image-20240808204732462

公式法

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十字相乘法

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找根法

image-20240808210315474

常见不等式解法

image-20240808212741215

分式不等式

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指数不等式

image-20240808213520680 image-20240808213547271 image-20240808213628456

注意：改为同底

例：

image-20240808213913872

对数不等式参考指数不等式

三角函数不等式

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函数的性质

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奇偶性

奇函数：图像关于原点对称

偶函数：图像关于y轴对称

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判断奇偶性

类型一：抽象函数奇偶性

类型二：具体函数

image-20240808215908374

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image-20240808220243479

反函数的解法

image-20240808221209768 image-20240808221338764

极限的计算

具体解决方法

image-20240811205759694

代值

image-20240811200828050

具体解决方法(详解)

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等价无穷小

常用等价无穷小

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三角函数等价无穷小

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三角函数相减等价无穷小

加减型不能等价无穷小，除非这个加减型本身就是等价无穷小

image-20240812204717955 image-20240812204922636

image-20240812205150725

如图所示，每个都相差(1/6)x三次方，所以我们可以做一个计算

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e和ln的等价无穷小

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总结

image-20240812215252051 image-20240812215821630 image-20240812220145717 image-20240812220435018

0乘有界

常见有界：sin、cos、arctan

image-20240813210845806

0乘有界=0

取大头

image-20240814204510269 image-20240814205017348

第二重要极限

image-20240814210457482

image-20240814211811921

幂指式求极限

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和式极限

无穷多项相加

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image-20240815213813361

补充公式

image-20240815214934572

左右极限

左极限与右极限相同则结果为真实极限

image-20240821205607726

image-20240821205958219

极限的应用

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左右极限

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例题

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函数在某一点的连续性

f(x0) = 左极限 = 右极限 = 连续

间断点的判断

若左右极限存在

  • 且相等，但不等于f(x0)，则x = x0是可去间断点。
  • 不相等，则x = x0是跳跃间断点。

可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点。

若左右极限至少有一个不存在 => 则x = x0 是无穷间断点

无穷间断点称为第二类间断点。

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例题

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无穷小的比较

判断什么是无穷小

image-20240917200211672

极限结果为0就是无穷小量

无穷小的比较

image-20240917200636092

渐近线

水平渐近线

image-20240917202054164

例题

image-20240917202216185

垂直渐近线

image-20240917202410661

斜渐近线

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例题

image-20240917203504517

导数的计算

公式求导

常用公式

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例题

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导数相乘和导数相加减不同

image-20240920221403043

image-20240920221707297

导数相除

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复合函数求导

方法：从外到内一步一步求导，直到单纯的x出现为止，求导结果相乘

例：

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复合函数乘法求导

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幂指式求导

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计算完成后，改写为原式子

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例：

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隐函数求导

隐函数的二阶导直接对一阶导再次求导即可

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方法

两边同时求导即可

例题

image-20240924211306480

image-20240924212123558

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对数求导法

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参数方程求导

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参数方程求二阶导

一阶导的结果除以x对t求导即可

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抽象函数和分式求导

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在某一点的导数值

先求导，后代值(千万不能先代值，后求导)

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参数方差例题

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利用导数的定义求在某一点处导数值

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例题

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分段函数求导

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最后对三者的结果做一个总结，当x>0、<0、=0时